--------wybierz-------- Metastock ciągłe wykresy intrawykresy intraday indeksy świat Prosto z rynku komentarze zagranica zarządzanie aktywami stawki depozytów mapa serwisu

Zastosowanie transformaty Fishera na rynku kapitałowym

Krzysztof Borowski
Katedra Bankowości SGH

Wprowadzenie

Wiele metod statystycznych stosowanych w analizie technicznej i wykorzystujących do pomiaru ryzyka odchylenie standardowe przyjmuje milczące założenie, że rozkład zmian cen akcji (lub innych aktywów)^[1] na giełdzie papierów wartościowych jest rozkładem normalnym (gaussowskim). Można spotkać prace statystyczne dowodzące, że w istocie rozkład zmian cen nie jest rozkładem normalnym^[2].

Transformata Fishera jest prostym zabiegiem matematycznym przekształcającym zbiór danych wejściowych w zbiór, którego funkcją gęstości prawdopodobieństwa jest funkcją gęstości rozkładu normalnego. Po jednokrotnym zastosowaniu transformaty Fishera, w zbiorze wynikowym mogą być stosowane wszystkie metody statystyczne odpowiednie dla rozkładu normalnego. Do ciekawych wniosków prowadzi także zastosowanie odwrotnej transformaty Fishera.

1. Zwykła transformata Fishera

Zwykłą transformatę Fishera możemy przedstawić w sposób następujący:

Równanie 1

gdzie:
x- sygnał wejściowy
y - sygnał wyjściowy

Rysunek 1. Przykład transformaty Fishera dla sygnałów X z przedziału <-1,1>

Źródło: opracowanie własne.

W przypadku kiedy sygnał wejściowy x jest bliski wartości przeciętnej, wtedy wartość sygnału wyjściowego y jest bliska wartości x. Jako przykład rozpatrzymy sytuację, gdy x=0,5, wtedy wartość y jest nieznacznie większa od 0,5. Dokładnie wynosi ona 0,54931. W przypadku, gdy wartość sygnału wejściowego jest bliska którejś z wartości skrajnych tj. -1 lub 1, wtedy wartość sygnału wyjściowego jest znacznie większa od wartości x. W ten sposób następuje wzmocnienie wielkości sygnału wyjściowego. Można pokazać^[3], że otrzymana w wyniku zastosowania transformaty Fishera dla rozkładu sinusoidalnego (sygnał wejściowy) gęstość rozkładu prawdopodobieństwa jest zbliżona do gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego. W literaturze przedmiotu przyjęto określać taki stan jako "prawie" gaussowski. Gęstości obu rozkładów tj. sinusoidalnego i "prawie" gaussowskiego są równe w punkcie x=0.

Rysunek 2. Transformata Fishera rozkładu sinusoidalnego ma rozkład zbliżony do gaussowskiego

Źródło: opracowanie własne.

Jeśli teraz wybierzemy określoną ramę czasową (np. horyzont 14 lub 30 sesyjny) i dokonamy rozkładu zmian stóp procentowych wybranego aktywu (lub rozkładu częstości występowania poszczególnych cen tego aktywu), a następnie przeprowadzimy proces normalizacji tego rozkładu, tak aby sygnał wejściowy należał do przedziału <-1,1>, a w dalszej kolejności poddamy sygnał wejściowy transformacie Fishera, to okaże się że ekstremalne zmiany ceny aktywu występują niezwykle rzadko. W ten sposób analitycy mogą wskazać istotne punkty zwrotne na wykresie ceny analizowanego aktywu.

Przykład transformaty Fishera został przedstawiony na rys. 3 - okno drugie od góry. Punkty zwrotne ceny akcji KGHM przy zastosowaniu transformaty są jeszcze lepiej widoczne - transformata tworzy wyraźne szczyty lub dołki szybko reagując na zmianę tendencji. Linią przerywaną zaznaczona została wartość transformaty z poprzedniej sesji - w ten sposób przebicie przez transformatę jej uprzedniej wartości może być wykorzystane w budowie systemów transakcyjnych jako sygnał kupna lub sprzedaży. Dodatkowo można na wykresie transformaty zaznaczyć, podobnie jak w przypadku niektórych wskaźników, poziomy wykupienia i wyprzedania sugerujące możliwość zmiany trendu na przeciwny (punkty: 3, 4, 5 i 6). Przekroczenie poziomów wykupienia lub wyprzedania należy uznać za stan skrajny.

Rysunek 3. Przykład zastosowania transformaty Fishera 14 dniowej na wykresie ceny akcji KGHM

Okno czasowe - 10 sesji, transformowana jest cena średnia ,
gdzie H i L oznaczaną odpowiednio najwyższą i najniższą cenę w trakcie sesji.

Źródło: opracowanie własne.

Do transformaty Fishera można wykorzystać także jako sygnał wejściowy wartość oscylatora lub wskaźnika używanego w analizie technicznej. Na rys. 4 przedstawiona została transformata Fishera z oscylatora MACD^[4], a na rys. 3 z oscylatora ROC (okno pierwsze od góry). Na wykresie transformaty powstały także formacje stosowane w klasycznej analizie technicznej:

• Podwójny szczyt (oznaczony jako pkt 2) - drugi szczyt transformaty MACD zbiegł się z sygnałem sprzedaży na MACD. Wcześniejszy szczyt transformaty nie został potwierdzony przez szczyt oscylatora.
• Podwójne dno - sygnalizacja końca korekty spadkowej i początek nowej fali wzrostów z okresu marzec - maj 2006 r.
• Negatywna dywergencja - ostrzeżenie przed korektą spadkową styczeń - marzec 2006 r. Trzeci kolejny szczyt w formacji negatywnej dywergencji pokrył się ze szczytem transformaty Fishera z ceny przeciętnej obliczonej przy zastosowaniu okna 30 sesyjnego.

Warto odnotować fakt, że zmiana horyzontu czasowego liczenia transformaty Fishera dla ceny przeciętnej z 10 na 30 sesji dobrze sygnalizowała dwa szczyt ceny akcji KGHM z października 2005 r. (punkt 4) i stycznia 2006 r. (punkt 5).

Rysunek 4. Przykład zastosowania transformaty Fishera dla oscylatora MACD

Okno czasowe - 30 sesji, transformowany jest oscylator MACD (okno pierwsze od góry). W oknie drugim zamieszczona została transformata Fishera z oscylatora MACD, a w trzecim transformata Fishera (30 dniowa) ceny akcji KGHM. W oknie czwartym umieszczony został akcjogram KGHM.

Źródło: opracowanie własne.

2. Odwrotna transformata Fishera (OTF)

Rozwiązanie równania 1 ze względu na x daje zależność:

Równanie 2

Jeśli teraz sygnał x ma być sygnałem wejściowym, a y wyjściowym to równanie 2 przyjmuje postać (zamiana zmiennych x z y):

Równanie 3

Rysunek 5. Sygnał wyjściowy w odwrotnej transformacie Fishera

Źródło: opracowanie własne.

W przypadku odwrotnej transformaty Fishera dla sygnału wejściowego z przedziału <-0,5; 0,5>, sygnał wyjściowy jest praktycznie równy wielkości sygnału wejściowego. Jednak w przypadku stanów ekstremalnych tj. dla x<-2 i x>2, wartość sygnału wyjściowego jest równa odpowiednio -1 i 1. Główną zaletą odwrotnej transformaty Fishera jest fakt, że sygnał wyjściowy przybiera z dużym prawdopodobieństwem jedną z wartości: -1 lub 1. Bipolarność odwrotnej transformaty Fishera czyni ją idealnym narzędziem wykorzystywanym w analizie technicznej do generowania wskazań kupna lub sprzedaży.

3. Odwrotna transformata Fishera i oscylator RSI

Jednym z najbardziej popularnych oscylatorów AT jest oscylator siły relatywnej RSI. Konstrukcja oscylatora powoduje, że porusza się on w przedziale od zera do 100. Jeśli od wartości oscylatora odejmiemy najpierw 50 punktów, a następnie wynik przemnożymy przez jedną dziesiątą:

Równanie 4

to wynik będzie należał do przedziału <-5; 5>, a wartość sygnału wyjściowego y do przedziału <-1; 1>. W następnej kolejności przy pomocy przekształcenia (normalizacja):

Równanie 5

powracamy do skali od zera do 100, tak aby łatwiej było narysować przetransformowany i znormalizowany oscylator RSI.

Tabela 1. Przykład obliczenia oscylatora RSI z wykorzystaniem odwrotnej transformaty Fishera

Źródło: opracowanie własne.

Wartości oscylatora RSI większe od 60 zostaną przetransformowane do przedziału <88; 100>, zaś wartości RSI mniejsze od 40 do przedziału <0;12>. Wartości RSI z przedziału <40;60> zostaną narysowane jako ostre przejście między stanem niskim i wysokim oscylatora RSI.

Rysunek 6. Ilustracja wzajemnego położenia oscylatora RSI i jego odwrotnej
transformaty Fishera na przykładzie indeksu S&P (notowania intraday).

Źródło: opracowanie własne.

Analogiczną operacją możemy przeprowadzić dla średniej ruchomej z RSI - odwrotnej transformacie Fishera poddajemy średnią ruchomą z oscylatora. Punkty zwrotne są nadal bardzo wyraźnie zaznaczone. Na rys. 7 przedstawione zostało wykorzystanie odwrotnej transformaty Fishera w dwugodzinnym trendzie bocznym. Stany wykupienia i wyprzedania odwrotnej transformaty stanowią doskonałe momenty wejścia na rynek lub zamknięcia pozycji długiej.

Rysunek 7. Ilustracja wzajemnego położenia oscylatora RSI i odwrotnej transformaty Fishera
z 9 sesyjnej średniej z RSI na przykładzie indeksu S&P (notowania intraday).

Źródło: opracowanie własne.

Odwrotna transformata Fishera bazująca na RSI może zostać wykorzystana do budowy prostego systemu transakcyjnego:

• Sygnał kupna (pozycja długa - Buy) - OTF przekracza poziom 50 pkt w górę,
• Sygnał sprzedaży (zamknięcie pozycji długiej - Exit Long) - kiedy OTF przebywa powyżej 80 pkt a następnie przełamuje poziom 80 pkt od góry
• Sygnał sprzedaży (pozycja krótka - Sell) - OTF przebija poziom 50 pkt w dół.
• Sygnał kupna (zamknięcie pozycji krótkiej - Exit short) - kiedy OTF przebywa poniżej a następnie przełamuje poziom 20 pkt od dołu

Przykład zastosowania takiego systemu transakcyjnego został przedstawiony na rys. 8.

Rysunek 8. Zastosowanie systemy transakcyjnego z OTF w notowaniach intradayowych w przypadku indeksu S&P.

Źródło: opracowanie własne.

Kolejną modyfikacją równania nr 3 i nr 4 może być:

Równanie 6

gdzie:
y oznacza średnią ruchomą 9 sesyjną ze zmiennej x liniowo ważoną ostatnią ceną^[5],
z - jest sygnałem wyjściowym ze zmodyfikowanego w ten sposób oscylatora RSI

Rysunek 9. Zastosowanie systemu transakcyjnego z odwrotną transformatą Fishera na przykładzie akcji KGHM.

Źródło: opracowanie własne.

W ten sposób możemy stworzyć kolejny system transakcyjny przy wykorzystaniu odwrotnej transformaty Fishera bazująca na RSI:

• Sygnał kupna (pozycja długa - Buy) - OTF przekracza poziom 0,5 pkt od dołu w górę,
• Sygnał sprzedaży (zamknięcie pozycji długiej - Exit Long) - kiedy OTF przebija od góry w dół poziom 0,5
• Sygnał sprzedaży (pozycja krótka - Sell) - OTF przebija poziom -0,5 pkt od góry w dół.
• Sygnał kupna (zamknięcie pozycji krótkiej - Exit short) - kiedy OTF przebija poziom -0,5 od dołu w górę.

4. Zastosowanie odwrotnej transformaty Fishera z innymi wskaźnikami

Odwrotna transformata Fishera może być wykorzystywana także z innym wskaźnikami analizy technicznej. Jako przykład podajmy jej wykorzystanie z oscylatorem Cyber cycles^[6]. W skrócie dowolny szereg czasowy można rozłożyć na składową trendu i składową cykliczną.

Rysunek 10. Przykład zastosowania odwrotnej transformaty Fishera w przypadku oscylatora Cyber cycle.

Źródło: opracowanie własne.

Głównym zadaniem oscylatora Cyber cycle jest znalezienie komponentów cyklicznych przy wykorzystaniu procesu filtrowania^[7]. Na wykresie oscylatora (pierwsze górne okno na rys. 10) widoczne są cykliczne zmiany kierunku charakteryzujące się różnymi amplitudami. Zastosowanie odwrotnej transformaty Fishera uwypukla zmiany kierunku oscylatora i pozwala na generowanie bardziej precyzyjnych sygnałów zmiany trendu: przełamanie przez OTF poziomów -0,5 i 0,5 pkt - drugie okno od góry na rys. 10. W przypadku przedstawionym na rys.10 jako linie sygnalne odwrotnej transformaty Fishera z oscylatora Cyber cycle użyte zostały poziomy -0,5 i 0,5.

Podsumowanie

Rozwój technologii komputerowych i zwiększenie możliwości obliczeniowych powoduje sięganie przez analizę techniczną do coraz bardziej skomplikowanych narzędzi. Jednym z nich jest proces obliczania odwrotnej transformaty Fishera dla cen aktywów z wybranego okna czasowego. Wykorzystanie statystycznych właściwości tej metody pozwala na zastosowanie jej do binarnego generowania wskazań kupna lub sprzedaży analizowanego aktywu oraz wprzęgnięcie tej metody do budowy systemów transakcyjnych.

Bibliografia:

1. Achelis S. "Analiza techniczna od A do Z", Oficyna Wydawnicza LT&P, Warszawa 1998.
2. Ehlers J. "Using the Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, November 2002.
3. Ehlers J. "Cybernetic Analysis For Stock And Futures", John Willey & Sons, New York 2004.
4. Ehlers J. "The Inverse Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, May 2004.
5. Murphy J. "Analiza techniczna", WIG-PRESS, Warszawa 1999.
6. Nowakowski J., Borowski K. "Zastosowanie teorii Fischera i Carolana na rynku kapitałowym", Difin, Warszawa 2005.

Strony internetowe:

http://www.prophet.net/analyze/popglossary.jsp?studyid=CCO (odsłona z dnia 29.06.2006).

Skrót artykułu

Transformata Fishera jest prostym zabiegiem matematycznym przekształcającym zbiór danych wejściowych w zbiór, którego funkcją gęstości prawdopodobieństwa jest funkcją gęstości rozkładu normalnego. Po jednokrotnym zastosowaniu transformaty Fishera lub odwrotnej transformaty Fishera, w zbiorze wynikowym mogą być stosowane wszystkie metody statystyczne odpowiednie dla rozkładu normalnego. Te statystyczne właściwości zbioru wynikowego pozwalają na zastosowanie tego przekształcenia w analizie technicznej i budowie systemów transakcyjnych.

[1] W przypadku transformaty Fishera zastosowanie w analizie technicznej mają raczej ceny aktywów, a nie ich zmiany.

[2] Ehlers J. "The Inverse Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, May 2004.

[3] Ehlers J. "Using the Fisher Transform", Technical Analysis of Stocks & Commodities, November 2002.

[4] Omówienie konstrukcji i zastosowania w analizie technicznej podstawowych oscylatorów i wskaźników (MACD, ROC i RSI) można znaleźć m.in. w:

1. Murphy J. "Analiza techniczna", WIG-PRESS, Warszawa 1999
2. Achelis S. "Analiza techniczna od A do Z", Oficyna Wydawnicza LT&P, Warszawa 1998.

[5] Liniowa ważona średnia ruchoma przypisuje większą wagę ostatnim cenom, a mniejszą wcześniejszym. Oblicza się ją mnożąc cenę (najczęściej zamknięcia) przez określoną wagę. Poniżej przedstawiony został sposób obliczenia średniej ważonej pięciosesyjnej:

Następnie dzieląc sumę wszystkich iloczynów cen i wag tj. 406 przez sumę wag tj. 15 otrzymujemy średnią liniowo ważoną pięcioseryjną - 27,067.

Ujęcie matematyczne takiego procesu dla średniej N sesyjnej możemy przedstawić jako:

gdzie:
C_W - średnia liniowo ważona z okresu N sesji
C₀ - cena na zakończenie ostatniej sesji
C_-1 - cena na zakończeni poprzedniej sesji
C_-N+1 - cena zamknięcia N sesji temu

Więcej na temat zastosowania liniowo ważonej średniej ruchomej i jej zastosowania w analizie technicznej można znaleźć m.in. w: Nowakowski J., Borowski K. "Zastosowanie teorii Fischera i Carolana na rynku kapitałowym", Difin, Warszawa 2005.

[6] Dokładne omówienia konstrukcji tego oscylatora można znaleźć m.in. na stronie internetowej: http://www.prophet.net/analyze/popglossary.jsp?studyid=CCO (odsłona z dnia 29.06.2006).

[7] Oscylator Cyber cycles stanowi narzędzie analizy technicznej wykorzystujące tzw. analizę spektralną podobnie jak transformata Fouriera.

---